• скачать файл

20. лабораторные работы по курсу «материалы электронной техники и

с. 1





20. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО КУРСУ

«МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ

И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА»
20.1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1. «Оптические свойства кристаллов

симметрии 3m: расчет скоростей оптических волн при различных

углах вхождения в кристалл»

Преобразования, которые испытывает оптическое излучение, распространяясь в кристаллах различной симметрии, широко используются для создания современных устройств функциональной электроники: для записи информации в кристалле, преобразования оптического излучения по направлению распространения, поляризации, длине волны и т.д. Столь широкий круг преобразований основан на явлениях, присущих собственно анизотропным средам, а также эффектам взаимодействия оптического излучения с акустическими волнами, электрическими и магнитными полями.

Целью данной лабораторной работы является знакомство студентов с основными закономерностями распространения оптического излучения в кристалле ниобата лития (), наиболее часто используемом в оптоэлектронике и акустоэлектронике.
20.1.1. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ

Как указывалось в разделе «Оптические свойства кристаллов» учебного пособия, если в кристалл входит плоская электромагнитная волна, то, пройдя в нем расстояние в несколько длин волн, она расщепляется на две плоских электромагнитных волны. Эти волны различаются между собой поляризацией (направлением вектора электрической индукции) и значением фазовой скорости. Одна волна, фазовая скорость которой не зависит от направления распространения волны в кристалле, называется «обыкновенной». Другая же волна, у которой фазовая скорость зависит от направления распространения волны относительно элементов решетки, называется «необыкновенной». Из названий следует, что поведение первой волны такое же, как и в изотропной среде – обыкновенное. Вторая же волна ведет себя необычно, поэтому её и назвали необыкновенной.

Физические причины двупреломления волны связаны с различием поляризационных свойств решётки кристалла в разных направлениях. Если направление распространения электромагнитной волны не совпадает с особенным, именуемым «оптической осью», электрическое поле фотона вызывает поляризацию кристалла, которая не совпадает по направлению с вектором . Разложив такой вектор поляризации решетки кристалла на две составляющие, перпендикулярные как между собой, так и направлению распространения электромагнитного излучения, получим две волны с взаимно перпендикулярными поляризациями и различными фазовыми скоростями. Последнее обусловлено тем, что фазовая скорость электромагнитной волны зависит от величины диэлектрической проницаемости кристалла в направлении вектора .

Математическое описание распространения электромагнитного излучения в анизотропной среде основано на анализе уравнений Максвелла и приведено в Учебном пособии (см. стр. 77 - 80). Оказалось, что параметры обыкновенной и необыкновенной волны могут быть найдены из решения задачи на отыскание собственных векторов и собственных значений тензора диэлектрической непроницаемости кристалла. Из-за свойства поперечности электромагнитной волны можно рассматривать не весь тензор, а только его проекцию на плоскость волнового фронта - это всего четыре компоненты тензора диэлектрической непроницаемости. Следовательно, распространяющихся в кристалле волн будет не три, как должно быть исходя из второго ранга тензора оптических свойств, а только две. При этом собственные значения определяют показатели преломления света в кристалле в направлениях собственных векторов (фазовые скорости), а собственные векторы – направление векторов электрической индукции в обыкновенной и необыкновенной волнах.

Для математического описания распространения электромагнитной волны в кристалле с заданной кристаллофизической системой координат введем новую декартову систему координат так, чтобы ось была направлена по нормали к волновому фронту. Тогда взаимно перпендикулярные оси окажутся в плоскости волнового фронта. Поскольку в этих координатах поперечная электромагнитная волна имеет нулевую компоненту вдоль направления распространения: D3 = 0, то из уравнений Максвелла можно получить систему уравнений для определения компонент вектора электрической индукции в волне:

(1)

Имеем два уравнения относительно компонент вектора электрической индукции D1 и D2. Здесь тензор диэлектрической непроницаемости уже записан в новой (штрихованной) системе координат. Система (1) показывает, что n-2 - это собственные значения тензора:



,

а - его собственный вектор. Поэтому данный тензор естественно назвать проекцией тензора диэлектрической непроницаемости на плоскость волнового фронта. Так как он двумерный, то у него будет только два собственных значения, определяемых из характеристического уравнения:



которое дает квадратное уравнение относительно собственных значений, имеющее два решения:



. (2)

Таким образом, в результате имеем два показателя преломления, а значит и две скорости: и , где с - скорость света в вакууме. Физически это означает только одно: волна расщепилась на две плоских электромагнитных волны, распространяющихся в кристалле в том же направлении, что и вошедшая в кристалл электромагнитная волна. Каждому собственному значению соответствует свой собственный вектор .

Итак, подведем итог рассмотрению. Оказалось, что в анизотропных кристаллах имеет место двупреломление: плоская монохроматическая волна, вошедшая в кристалл, пройдя расстояние порядка несколько длин волн, превращается в две линейно поляризованные волны с разными скоростями распространения фазы: и и взаимно перпендикулярными векторами . При нормальном падении направления распространения обеих волн совпадают как между собой, так и с направлением вошедшей в кристалл электромагнитной волны.

Еще один вывод: оптические свойства кристаллов описываются тензором второго ранга, который в общем случае имеет три собственных значения и три собственных вектора соответственно. В рассмотренной ситуации их оказалось только два, что соответствует описанию поведения двух волн. В общем случае мы должны ожидать преобразование одной плоской волны в три волны (так оно и есть для упругих волн). Уменьшение же числа волн в данном случае обусловлено поперечностью электромагнитных волн: именно по этой причине тензор второго ранга превратился в его проекцию на плоскость волнового фронта.


20.1.2. ЗАДАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1

Плоская электромагнитная волна с заданными амплитудой и волновым вектором входит в кристалл ниобата лития (точечная группа симметрии 3m) под произвольным углом к оси симметрии третьего порядка, находясь в кристаллофизической плоскости Х2ОХ3. Таким образом, волновой вектор лежит в плоскости Х2ОХ3 и составляет угол q с осью симметрии третьего порядка. В этой ситуации необходимо рассчитать зависимости фазовых скоростей электромагнитных волн в кристалле ниобата лития от значения угла вхождения волны в кристалл. Для этого



  1. выполните необходимые для последующего расчета вычисления: определите вид матрицы преобразования системы координат, компоненты тензора диэлектрической непроницаемости в новой системе координат, найдите аналитические выражения для фазовых скоростей волн и т.д.;

  2. составьте алгоритм расчета фазовых скоростей обыкновенной и необыкновенной волн в кристалле ниобата лития, используя, например, вычислительный пакет «MATHCAD», в зависимости от значения угла q, считая, что угол q между осью симметрии третьего порядка и вектором отсчитывается от оси симметрии третьего порядка, лежит в плоскости X2OX3 и изменяется от 0 до p с шагом 0.1 радиана. В кристаллофизической системе координат стандартной установки (см. Таблицы 1, 2) численные значения компонент тензора диэлектрической проницаемости кристалла ниобата лития (в Ф/м) взять равными следующим:

.

Остальные компоненты тензора в кристаллофизической системе координат равны нулю;



  1. произведите расчет зависимостей фазовых скоростей от угла вхождения и объяснить их ход, используя представления о симметрии физических свойств в кристаллах, а также об оптической индикатрисе;

  2. составьте отчет о проделанной работе.


20.1.3. ПРИМЕРНАЯ СХЕМА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ



1. Сначала необходимо записать матрицу преобразования системы координат: из кристаллофизической в систему координат, связанную с направлением распространения электромагнитной волны. На рисунке показаны кристаллофизическая система координат и «новая», связанная с направлением распространения волны. Новую систему координат можно получить из старой, если взявшись за ось Х1, произвести её поворот на угол q до совмещения оси Х3 с волновым вектором. Матрица преобразования строится путем проецирования новой системы координат на старую. В первой строке записываются проекции оси на оси Х1, Х2 и Х3, во второй и третьей – осей и соответственно. В этом случае матрица будет иметь вид:

. (3)

2. Используя матрицу преобразования кристаллофизических координат в систему, связанную с распространением оптического излучения, в форме (3), записываем тензор диэлектрической непроницаемости в новой системе координат. Компоненты тензора диэлектрической непроницаемости в старой системе координат находятся из выражения:



,

где Ф / м – диэлектрическая проницаемость вакуума. Для перевода тензора диэлектрической непроницаемости в новую (связанную с распространением оптического излучения) систему координат, необходимо использовать выражение (см. Учебное пособие, стр. 35):



,

где индексы i, j, k, l меняются от 1 до 3. Так, например, при i = 1 и j = l вычисляется компонента тензора диэлектрической непроницаемости (см. Учебное методическое пособие, часть 1, стр. 42):



Из вида матрицы преобразования системы координат в форме (3) следует, что в данном выражении только С11 отличен от нуля. Поэтому для данной компоненты окончательно имеем:



.

Аналогично вычисляются остальные компоненты тензора диэлектрической непроницаемости в новой системе по известным значениям в кристаллофизической (старой) системе.

3. Вычисленные значения компонент тензора диэлектрической непроницаемости в новой системе координат подставляем в выражение (2) и рассчитываем значения показателей преломления для обыкновенной и необыкновенной волн в зависимости от угла вхождения волны в кристалл. По известным показателям преломления вычисляем фазовые скорости волн.

4. Составляем программу расчета фазовых скоростей от угла q, в которой угол вхождения является переменной цикла, изменяемой от нуля до p с шагом 0.1 радиана. Для проверки результатов расчета можно пользоваться условием, что в рассматриваемой ситуации найденные фазовые скорости должны быть меньше скорости света, а у одной из волн фазовая скорость не должна зависеть от угла – обыкновенная волна.



20.2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. «Оптические свойства кристаллов

симметрии 3m: расчет векторов поляризации оптических волн при

различных углах вхождения в кристалл»
20.2.1. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ

Рассматривая в предыдущей лабораторной работе распространение электромагнитных волн в анизотропной среде, мы ограничились только анализом поведения фазовых скоростей обыкновенной и необыкновенной волн. Их величины определялись как собственные значения тензора диэлектрической непроницаемости. Соответствующие им собственные векторы определяют направления, по которым направлены векторы электрической индукции в обыкновенной и необыкновенной волнах.

Для отыскания собственных векторов необходимо найденные собственные значения подставить в систему

(4)

решение которой даст Х - и Y -компоненты собственного вектора . Направление вектора в волне, распространяющейся со скоростью , определяется из двух следующих уравнений:



(5)

Направление вектора находится аналогично, но он обязательно перпендикулярен , т.к. собственные вектора взаимно перпендикулярны. При нахождении компонент собственных векторов необходимо использовать условие их нормировки:



.
20.2.2. ЗАДАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 2

Данная работа является продолжение лабораторной работы № 1. В ней необходимо, пользуясь найденными собственными значениями проекции тензора диэлектрической непроницаемости, определить его собственные векторы как функции угла вхождения волны в кристалл q. Изменяя значение угла в пределах от нуля до p, определить изменение ориентации векторов электрической индукции в обыкновенной и необыкновенной волнах. Результаты работы оформить в виде отчета.



20.2.3. ПРИМЕРНАЯ СХЕМА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Для отыскания собственных векторов необходимо воспользоваться системой (5). При этом компоненты тензора найдены и в общем случае являются функциями угла q. Подставив собственное значение , найдем компоненты собственного вектора из системы



Подставив же другое собственное значение , из системы (5) получим компоненты другого собственного вектора .

2. Показать, как будут вести себя компоненты собственных векторов при изменении угла вхождения электромагнитной волны в кристалл q от нуля до p с шагом 0.1 радиана.

ТАБЛИЦА 4
ФОРМА МАТРИЦ УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ

КРИСТАЛЛОВ РАЗЛИЧНЫХ СИНГОНИЙ

Т р и к л и н н а я с и н г о н и я

Оба класса




М о н о к л и н н а я с и н г о н и я
Все классы, 2 || (обычная ориентация)


Р о м б и ч е с к а я с и н г о н и я
Все классы


с. 1