Арифметико-логические основы схемотехники

с. 1 с. 2 ... с. 7 с. 8
Лекция № 1.

Лекция № 2.

Лекция № 3.

Лекция № 4.

Лекция № 5.

Лекция № 6.

Лекция № 7.

Лекция № 8.

Лекция № 9.

Лекция № 10.

Лекция № 11.

Лекция № 12.

Лекция № 13.

Лекция № 14.

Лекция № 15.

Лекция № 16.

Лекция № 17.




Лекция №1.


Арифметико-логические основы схемотехники.
Любое смешанное число N в любой позиционной системе счисления R может быть представлено степенным многочленом – полиномом.
N = xn-1Rn-1+xn-2Rn-2+...+x0R0+x-1R-1+...+x-mR-m ,
где R – основание системы счисления; n – число цифр целой части числа; m – число цифр дробной части числа;

R € { 2,10 };

хi € { 0,1,2,…, R-1 }- цифры.
Пример:
N = 317,510 = 3·102 + 1·101 + 7·100 + 5·10-1= 1·28 + 0·27 + 0·26 + 1·25 + 1·24 + 1·23 + 1·22 + 1·21 + 1·20 +1·2-1= 100111111,1

10 ≡ Д

2 ≡ В

Чтобы перейти от R к Q нужно разделить число S на основание системы счисления QR.
Например: записать число 317,6 в двоичной системе счисления

1)
317 2

316 158 2

1 158 79 2

0 78 39 2

1 38 19 2

1 18 9 2


1 8 4 2

1 4 2 2


0 2 1

0

1001111012


2)

х 0, 6

2

х1, 2



2

х0, 4

2

х0, 8



2

1, 6
0,10012

Ответ: 100111101,1001

Арифметические операции в двоичной системе счисления.


Десятичная (Д)

Двоичная (В)

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

10

1010

11

1011

12

1100

13

1101

14

1110

15

1111


Лекция № 2.


Логические основы схемотехники.

Теоретической основой проектирования цифровых систем является булева алгебра, названная по имени ее основоположника Д.Буля. аргументы булевой алгебры могут иметь только два значения: «истинно» (1) или «ложно» (0).

хi = {0;1}, где i=1,..,n

областью значения или определения является множество нолей и единиц, такая функция называется булевой.

у = f (х0, х1,…, хn-1).

В связи с таким определением можно посчитать общее количество переключательных функций:

у = f (х) N = 2(2)n, где n-число логических переменных (аргументов), на которых определена переключательная функция;

у = f (х0, х1) N = 16.


Основные функции алгебры логики.

Наибольший интерес представляют собой функции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Эти три функции образуют, подобно операциям сложения и сдвига в арифметике, функционально полный базис переключательных функций.



  1. функция дизъюнкции (логического сложения или логического ИЛИ) представляется аналитически с помощью символов V, +.

у = f (х0, х1) = х01= х01, а также имеет табличное представление:


х0

х1

у = f (х0, х1)

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

АVВ






  1. функция конъюнкции (логического умножения или логического И)

2.1. табличная форма представления


х0

х1

х2

у = f (х0, х12)

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

А^В


2.2. аналитическая форма

у = f (х0, х1, х2) = х01^ х2= х0·х1·х2 = х0 1 2

3) функция отрицания


у = f (х) = х

х

у = f (х)

0

1

1

0

На примере функции двух переменных рассмотрим следующие функции:

  1. стрелка Пирса


у = f (х0, х1) = х01 – дизъюнкция с отрицанием




  1. штрих Шеффера


у = f (х0, х1) = х0·х1 – конъюнкция с отрицанием




  1. сложение по модулю два

у = f (х0, х1) = х0х1



х0

х1

у = f (х0, х1) = х0х1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Все функции являются функционально полным минимальным базисом.


Законы алгебры логики.

1) х1·х2 = х2· х1

2) х12 = х21- переместительный закон

3) х1·(х23) = х1·х21·х3 – дистрибутивный закон

4) х1V(х2·х3)= (х12) 13)

5) х1·(х2·х3)= (х1·х2) ·х3 – ассоциативный закон

6) х1V(х23)= (х12)Vх3

7) хVхVх…= х закон идемпотентности

х·х·х…= х

8) хVх·у = х закон поглощения

х·(хVу) = х

9) х · у Vху= х закон склеивания

(х V у ) (хVу) = х

10) х V х ≡ 1

х · х = 0

х = х


11) х12 = х1 ·х2 – закон де Моргана
Способы представления логических функций.
Существует два основных способа:

  1. совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)

  2. совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)


Дизъюнктивная форма.

Например,


х1V х1·х2 ·х31· х2·х31· х5 = у = f (х1, х2, х3, х5)
х1·х2 ·х3 – терма (часть конъюнкции).
Дизъюнктивная нормальная форма.

Представляет собой дизъюнкцию термов, причем термы могут состоять из большого количества переменных, но общее отрицание над ними опускается.




х1V х1·х2 · х31· х2· х31· х5


Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.

Каждый терм содержит все независимые переменные взятые с инверсией или без.




х1·х2 ·х31· х2· х3 V х1· х2· х3



Конъюнктивная форма.


12) · (х1V х23) · (х1V х23)


Конъюнктивная нормальная форма.
12) · (х123) · ( х1 V х2 V х3 )

Совершенная конъюнктивная нормальная форма.


1V х2V х34) · ( х1 V х2 V х3 4)

Пользуясь аппаратом СКНФ и СДНФ от аналитической функции легко перейти к логической.


х1

х2

х3

у = f (х1, х23)

СДНФ

СКНФ

0

0

0

1


х1· х2 · х3






0

0

1

0



х12V х3



0

1

0

1


х1· х2 ·х3






0

1

1

0





х1V х23



1

0

0

1

х1· х2 ·х3






1

0

1

0





х123



1

1

0

0



х123



1

1

1

1

х1·х2 ·х3






Минимизация логических функций.

Метод карт Карно.

Карты Карно для двух переменных (22):

х2 х2














х1


х1


для трех переменных (23):

для четырех переменных (24):





с. 1 с. 2 ... с. 7 с. 8