• скачать файл

Катречко С. Л. Теоретико-множественная парадигма современной математики

с. 1
Катречко С.Л.
Теоретико-множественная парадигма современной математики и ее возможные альтернативы.
(текст (конспект) лекции, прочитанной на мехмате МГУ 27.03.2001)
ЧАСТЬ 1. Теоретико-множественная (бурбакистская) парадигма математики
В своей программной статье «Архитектура математики» Н. Бурбаки [1] ставит вопрос о концептуальном единстве математики: едина ли математика или «существуют… несколько математик?»1. Отвечая на этот вопрос в пользу первой альтернативы, Бурбаки отмечает, что концептуальное единство математики обеспечивается как единым — аксиоматическим — методом математической деятельности, так и единым предметом ее исследования, который согласно Бурбаки состоит в выделении и изучении — на основе того же аксиоматического метода — абстрактных математических структур. Более того, можно выделить три основные, или базовые математические структуры (алгебраические структуры, структуры порядка и топологии), которые выступают как порождающий базис для всех остальных математических теорий, содержательное богатство которых получается путем возможного объединения базовых структур и введения частных, более специальных аксиом (замечу, что именно в этом и состоит суть проекта «единой» математики, который был заявлен и реализован Н. Бурбаки)2.

Более детальное и ясное представление о сущностных основах — парадигме — математической программы Бурбаки можно почерпнуть из первого тома «бурбакистской» серии с характерным названием «Теория множеств» [2]. Здесь выделяется более глубинная «математическая (прото)структура» — теория множеств, которая цементирует собой, являясь их основанием, не только вышеперечисленные основные структуры, а составляет концептуальный «языковой каркас» (Р. Карнап, [3]) всей математики, поскольку именно теоретико-множественное отношение принадлежности выступает, как пишет Р. Голдблатт [4], «в качестве основного строительного блока для проведения математических конструкций» и выражения [основных — К.С.] свойств математических объектов». В этом смысле, теория множеств выступает не столько как одна из математических теорий, даже и более глубинного уровня (наряду с исчислением высказыванием, исчислением предикатов и эгалитарными теориями [= исчисление предикатов с равенством], что позволяет говорить о том, что теория множеств и логика лежат в основании математики), а является достаточно выразительным по своим возможностям языком (в отличие от предшествующей ей логических протоструктур), на котором формулируются и интерпретируются все остальные математические теории (и даже строится семантика предшествующей ей логических исчислений!)3. Более того, как отмечает Н. Бурбаки в своем историческом очерке развития логики и математики, современная символическая логика, создателями которой выступают Г. Лейбниц и Дж. Буль, интуитивно основывается на оперировании именно теоретико-множественными отношениями4.

Несколько модифицируя (для целей нашего анализа) теоретико-множественную парадигму Н. Бурбаки, можно представить ее в виде следующей иерархии, каждый последующий уровень которой связан с обогащением выразительных возможностей используемого языка:

==============================================================



  1. Общие принципы — онтологические допущения — построения формальных систем (языков), канторовская интуиция множества

(язык) онтология —

логика —


  1. Исчисление высказываний: введение (символов, операций) логических связок & (конъюнкции), V (дизъюнкции), ¬ (отрицания) и  (импликации).

  2. Исчисление предикатов: введение кванторов существования () и общности ().

  3. Эгалитарные теории [= исчисление предикатов с равенством]: введение знака (операции) равенства (=).

  4. «Наивная» теория множеств: введение основной теоретико-множественной операции (символа) принадлежности элемента множеству ().

математический язык —

математика —



  1. Аксиоматическая теория множеств:

      • теория типов Рассела — Уайтхеда (система PM)

      • аксиоматика Цермело — Френкеля (система ZF)

      • аксиоматика Неймана — Бернайса — Геделя (система NBG)

  1. Основные математические структуры: алгебраические, топологические структуры, структуры порядка.

  2. Сложные, или производные, математические структуры (как комбинация основных структур).

  3. Конкретные математические теории, или собственно МАТЕМАТИКА.

схема 1

Примечания:

  1. В данной схеме чертой обозначены три парадигмальных уровня ядра: онтология (языка), логика — математический язык и математика.

  2. Конечно, существуют и последующие (9, 10…) уровни прикладных — «физических» — математических теорий, которые здесь не выделены, так не являются предметов нашего «археологического» анализа.

===============================================================

Здесь сразу же (несколько забегая вперед) можно предложить модифицированный вариант этой иерархии (схема 2), с которым мы будем работать в дальнейшем. Наиболее важное — принципиальное — отличие модифицированной иерархии от первоначальной бурбакистской иерархии, изображенной на схеме 1, заключается, во-первых, во введении нового промежуточного уровня между уровнями эгалитарных теорий (3) и «наивной» теорией множеств (4). Это — уровень формальной арифметики, который предполагает введение операции «следование за» (что необходимо для построения натурального ряда), других арифметических операций (сложения и умножения) и аксиомы математической индукции. Исторически эта [наша] модификация связана с известным спором между формалистами и интуиционистами после обнаружения теоретико-множественных парадоксов (например, парадокса Рассела) о том, что является базовой интуицией математики. Согласно подходу интуиционистов теоретико-множественная интуиция Г. Кантора слишком уж сильно расширяет границы математики (именно на это и указывают парадоксы) и должна быть сужена и заменена интуицией натурального ряда, которая является истинной «концептуальной» основой математики (см., например, доклад Г. Вейля «Математический способ мышления» [6]). А формалистский подход обоснования математики (на схеме 2 этому соответствует уровень 5, в рамках которого теория типов, система ZF и система NBG представляют собой разные степени «отступления») ратует за менее радикальное «отступление» от первоначальной интуиции «наивной» теории множеств (на схеме 2 она переместилась «выше» аксиоматических систем, хотя мы ее и не выделили в самостоятельный структурный уровень), поскольку, как говорил Д. Гильберт, «никто не сможет изгнать из рая, созданного для нас Кантором»5. На определенную «совместимость» этих позиций указывает то, что возможно введение промежуточных — между арифметическими и теоретико-множественным уровнями — теорий, например (1) простой теории типов («обеднение» теории типов) или (2) второпорядковой арифметики («расширение» формальной арифметики), первая из которых указывает на близость к теории множеств, а вторая — к арифметике 6.

Во-вторых, мы более четко структурировали (и несколько сместили) три метауровня нашей (парадигмальной) иерархии: онтология (язык), логика, математика (заметим, что это является общепринятым на сегодняшний день делением). При этом область собственно теории множеств мы пометили как такой «пограничный» уровень, с которого, возможно, начинаются некоторые «неприятные» последствия для математики (в виде, например, теоретико-множественных парадоксов), т. е. происходит выход за пределы «безопасной» (с точки зрения интуиционистов) зоны, и, как следствие, возникает проблема обоснования (теоретико-множественной) математики. Причем уровни 5.1. — 5.3. соответствуют различным (формалистским) подходам ограничения «наивной теории множеств» (преодоления парадоксов), когда выход за пределы области «теории множеств» все же не происходит.

==============================================================



  1. Общие принципы построения формализмов, интуиция натурального ряда versus теоретико-множественная интуиция + финитная установка

язык, онтология —

логика —



  1. Исчисление высказываний: введение логических связок &, V, ¬, 

  2. Исчисление предикатов: введение кванторов , 

  3. Эгалитарные теории: введение знака =

логика —

математика —



  1. Формальная первопорядковая (рекурсивная) арифметика: примитивно-рекурсивные операции («следование за», «сложение», «умножение»), использование метода (аксиомы) математической индукции

4 — 5. простая теория типов

4 — 5. второпорядковая арифметика

========================================================================


  1. [Аксиоматическая] теория множеств (операция ):

      • 5.1. теория типов Рассела — Уайтхеда (система PM)

      • 5.2. аксиоматика Цермело — Френкеля (система ZF)

      • 5.3. аксиоматика Неймана — Бернайса — Геделя (система NBG)

      • 5.4. «наивная» теория множеств — парадоксы

==========================================================================

  1. Основные математические структуры: алгебраические, топологические структуры, структуры порядка и их производные комбинации

  2. Конкретные математические теории (= математика как таковая).

схема 2

===============================================================

Однако общий принцип построения нашей иерархии остается прежним: каждый последующий уровень является существенным обогащением используемого язык, за счет чего возрастают выразительные возможности вышестоящих логико-математических теорий. Можно дать и более строгое соотношение выразительных возможностей языков на основе предложенной А. Мостовским и С. Клини классификации арифметических, или числовых предикатов. Скажем о ней более подробно, так как именно на ее основе мы попытаемся осмыслить результаты об ограничительных возможностях формализмов. Ее суть заключается в следующем (она будет изложена в соответствии с работой [11]). В обобщенном виде тип той или иной формулы (соответственно, тип языка, в котором можно выразить данную формулу) соответствует типу совершенной предваренной формы формулы, в которой все кванторные комплексы вынесены вперед. Соответственно, формулы в предваренной форме могут быть разбиты на классы в зависимости от того, с какого типа квантора (общности или существования; квантор  относится к типу n, а квантор  — к типу n) начинается кванторная приставка; от указания типа (ранга) высшего квантора (верхний индекс) и числа перемен кванторов высшего типа (нижний индекс). Тогда (бескванторный) язык исчисления высказываний относится к типу 0 = 0, что соответствует классу рекурсивных предикатов. Формулы высших типов относятся к типу  k n или  k n. К типу  0 0 =  0 0 относятся все рекурсивные классы и отношения, типу  0 1 (или 1) — рекурсивно-перечислимые, к типу  0 n   0 n — арифметические, к типу  1 1   1 1 — гиперарифметические, к типу  1 n   1 n — аналитические, или предикаты второпорядковой арифметики.

Представленная ниже (см. схему 3) нашей модификация иерархии (с учетом классификации Мостовского—Клини) соотнесена с структурным «расположением» соответствующих ограничительных теорем о выразительных возможностях формализмов. Она проливает некоторый свет на смысл этих результатов, к которым, помимо известного «набора» теорем (теорема Черча—Россера о неразрешимости исчисления предикатов, теоремы Геделя о неполноте (10) и непротиворечивости (2), теорема Тарского о невыразимости семантической истинности), отнесем также и нерешенную на сегодняшний день P=NP—проблему [12] (уже сам факт наличия этой проблемы показывает «ограниченность» дедуктивных (алгоритмических) возможностей стандартного формализма самого первого уровня — исчисления высказываний!), поскольку указывает на «области действия» этих результатов, их взаимосвязь и «нарастание» негативных результатов при движении вверх по логико-математической иерархии.

==============================================================


  1. Общие принципы построения формализмов, интуиция натурального ряда // теоретико-множественная интуиция + финитная установка (Гильберт)

язык, онтология —

логика —



  1. Исчисление высказываний — P=NP—проблема

  2. Исчисление предикатов — теорема Черча—Россера

  3. Эгалитарные теории (исчисление предикатов с равенством)

  4. Исчисление предикатов второго порядка

логика —

математика —



  1. Формальная арифметика — теорема Тарского, (1) и (2) теоремы Геделя

4—5. простая теория типов; второпорядковая арифметика

========================================================================



  1. [Аксиоматическая] теория множеств:

      • 5.1. теория типов Рассела — Уайтхеда (система PM)

      • 5.2. аксиоматика Цермело — Френкеля (система ZF)

      • 5.3. аксиоматика Неймана — Бернайса — Геделя (система NBG)

      • 5.4. «наивная» теория множеств — парадоксы

==========================================================================

  1. Основные математические структуры: алгебраические, топологические структуры, структуры порядка и их производные комбинации

  2. Конкретные математические теории (= математика как таковая).

схема 3

==========================================================================


Здесь можно дать некоторое уточнение нашего понимания теорем об ограничительных возможностях формализмов. О чем говорят отмеченные нами «ограничительные» результаты? Во-первых, эти результаты действительно показывают ограниченность стандартных формальных систем: за формальную строгость («узость») приходится расплачиваться ограниченностью («широты»)7. Однако мыслитель должен, как говорил Спиноза, не оценивать («плакать или смеяться»), а прояснять суть дела («понимать»). Поэтому в факте «ограниченности» важен не столько оценочный компонент, сколько то, что он [факт] определенным образом указывает на сущностные характеристики стандартных логико-математических формализмов, которые и надо постараться выявить при осмыслении этих результатов. На наш взгляд ключевым здесь является, почерпнутое нами из работ Е.Д. Смирновой [см. 11], разграничение выразительных и дедуктивных возможностей формализмов, или формальных языков. Тогда в наиболее общем виде факт «нарастания» ограничительных результатов (особенно теоремы Геделя) указывает на неравномерный рост выразительных и дедуктивных возможностей стандартного набора формализмов, представленного в нашей иерархии, а именно на то, что выразительные возможности формализованных языков «растут» несколько быстрее, чем дедуктивные, а «дедукция» не успевает за «выразительностью».

* * *


Следующий наш этап модификации связан с уточнением «уровня» действия тех и или иных ограничительных результатов. Сначала приведем модифицированную схему 4, а потом дадим краткий комментарий к ней:
==============================================================

  1. Общие принципы построения формализмов, интуиция натурального ряда // теоретико-множественная интуиция + финитная установка (Гильберт)

язык, онтология —

логика —

  1. Исчисление высказываний — P=NP—проблема

  2. Исчисление предикатов: (versus арифметика Пресбургера; Сколема

    1. Монадическая (предикатная) логика (силлогистика)

=====================================

    1. Диадическая (предикатная) логика — теорема Черча—Россера

  1. Эгалитарные теории (исчисления предикатов с равенством) – могут строиться уже с уровня 2.1

  2. Исчисление предикатов 2-ого порядка («слабая» полнота Хенкина)

логика —

математика —

  1. Арифметика (может начинаться с уровня 2.2.):

5.1.уровень R

=================================================================

5.2. Q – конечно-аксиоматизированная система (формальная математики) Робинсона — (1) и (2) теоремы Геделя (примеры полных теорий)


    1. P – арифметика Пеано — теорема Тарского (?)

    2. N – (max) насыщенная арифметика

================================================================

6. Второпорядковая арифметика (анализ) — неформализуемость

7. [Аксиоматическая] теория множеств:

7.1. теория типов Рассела — Уайтхеда (система PM)

7.2. аксиоматика Цермело — Френкеля (система ZF)

7.3. аксиоматика Неймана — Бернайса — Геделя (система NBG)

7.4. «наивная» теория множеств — парадоксы

==========================================================================



8. Основные математические структуры: алгебраические, топологические структуры, структуры порядка и их производные комбинации

Конкретные математические теории (= математика как таковая).



схема 4

==========================================================================


<продолжение следует — 16.04.20001>
Литература:

  1. Бурбаки Н. Архитектура математики» //Его же. Очерки по истории математики. М.: Изд-во Ин. Лит, 1963. — с. 245—259.

  2. Бурбаки Н Теория множеств. М.: Мир, 1965.

  3. Карнап Р. Эмпиризм, семантика и онтология //Его же. Значение и необходимость. М., 1959

  4. Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. М.,

  5. Бурбаки Н. Архитектура математики» //Его же. Очерки по истории математики. М.: Изд-во Ин. Лит, 1963.

  6. Вейль Г. Математический способ мышления //Математическое мышление. М., Наука, 1989.

  7. Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории числе //Математическая теория логического вывода. — М., Наука, 1967. — с.77—190.

  8. Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел //Математическая теория логического вывода. — М., Наука, 1967. — с.77—190.

  9. Гедель К. Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения //Математическая теория логического вывода. — М., Наука, 1967. — с.299—304.

  10. Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. — М., Мир, 1981.

  11. Смирнова Е.Д. Логика и философия. М.: РОССПЭН, 1996 (глава 3; стр. 84—132); (см. также более ранние работы Е.Д. Смирновой «Логическая семантика и философские основания логики» (1986), «Основы логической семантики» (1990), где эта тема анализа смысла ограничительных теорем раскрыта в разных аспектах).

  12. Гэри М., Джонсон Д. ЭВМ и труднорешаемые задачи. М., Мир (?), 1983.




1 «Но можно спросить себя, является ли это обширное разрастание развитием крепко сложенного организма, который с каждым днем приобретает все больше и больше согласованности и единства между своими вновь возникающими частями, или, напротив, оно является только внешним признаком тенденции к идущему все дальше и дальше распаду, обусловленному самой природой математики; не находится ли эта последняя на пути превращения в Вавилонскую башню, в скопление автономных дисциплин, изолированных друг от друга как по своим методам, так и по своим целям и даже по языку? Одним словом, существуют в настоящее время одна математика или несколько математик?» [1, стр. 246]

2 «Теперь можно объяснить, что надо понимать в общем случае под математической структурой. Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым названием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы ** (в случае групп [алгебраических структур — К.С.] — это отношение хτу = z между тремя произвольными элементами); затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры)» [1, стр. 251]

** [сноска Н. Бурбаки — К.С.] С точки зрения этой концепции единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры. Читатель найдет более подробное развитие этой точки зрения в следующих двух статьях: Dieudonne J., Les methodes axiomatiques modernes et les fondements des mathematiques, Revue Scientifique, 78 (1939), 224—232; Сагlаn Н., Sur lе fondement logique des mathematiques, Revue Scientifique, 81 (1943), 3—11].



3 «Можно утверждать, что математики и философы всех времен более или менее сознательно пользовались теоретико-множественными утверждениями» (Н. Бурбаки, [5, с. 37].

4 Вот как характеризует Н. Бурбаки, например, деятельность Дж. Буля: «Его основная идея заключается в том, что надо постоянно следовать «объемной» точке зрения и, значит, непосредственно оперировать с множествами» [5, с. 17].

5 Другим, естественным для формалистов, ограничением первоначального теоретико-множественного подхода является так называемая финитная установка Гильберта, которая требует использования интуитивно очевидных — финитных — при обосновании (доказательстве непротиворечивости) математических теорий. При этом интуиционисты (например, в лице К. Геделя, К. Шютте, Г. Генцена) активно использовали в своих работах трансфинитную индукцию (см., например, доказательство непротиворечивости чистой теории чисел [7]) или другие «расширения финитной точки зрения» за счет введения абстракций более «высших ступеней» [8, 9].

6 К вопросу о соотношении формализма (логицизма) и интуиционизма мы еще вернемся, поскольку, как будет показано ниже, суть их разногласий проходит не только по этому основанию, но и относится к более глубокому уровню нашей иерархии. Заметим также, что мы здесь сознательно переставили местами уровень «простой теории типов» и «второпорядковой арифметики», чтобы подчеркнуть «переплетение» арифметической и теоретико-множественной интуиций. Точных результатов, свидетельствующих об обратном порядке их следования мне неизвестно, а о возможности такого расположения свидетельствует, например, такой крупный логик как А. Черч: «Система A2/w (разветвленная арифметика второго порядка — К.С.)… была бы, вероятно, неприемлема для авторов Principia Mathematica (чуть выше Черч рассматривает (ограниченную) PM как «расширение» более бедного, по сравнению с A2/w, функционального исчисления предикатов второго порядка F2/wP за счет аксиомы бесконечности — К.С.), [но] можно считать, что эта система согласуется с программой Вейля…или с идеями Пуанкаре» [10, с. 336]. Об этом же «переплетении» говорит и порядок расположения уровней 5.2. – 5.3., второй из которых можно отнести к более интуиционисткому варианту аксиоматической теории множеств.

7 В этом смысле хорошим методологическим обобщением (+ одновременно, прояснением их философского смысла) этих результатов выступает известный критерий фальсифицируемости научных теорий, предложенный К. Поппером. Фальсификация научных теорий связана с «ограниченностью» области их применимости: каждая научная теория — в отличие от нечетко заданной идеологии — «работает» в определенной области, за пределами которой она становится неверной. Однако именно с этой «узостью» теорий и связана возможность получения в них научных результатов, т.е. их эффективность.




с. 1